MIGUEL ANGEL VARGAS CRUZ
Desde la
Creación de su empresa
Hasta su
Certificación ISO

Mecanismo de Higgs

Les comparto algunas notas que tomé, sería mejor agregarles muchas referencias, pero después con mas tiempo se las agrego, este artículo es derivado de una breve charla sencilla sobre el bosón de Higgs de una investigadora que hace colaboraciones con el CERN, hice algunas correcciones a la presentación original, principalmente en algunos términos de normalización, signos, algunos detalles, agregué unas gráficas mas claras, la lagrangiana de donde sacamos el potencial y el cálculo del estado base, de igual manera si ven algún error, me dicen:

Antecedetes

  • Ecuación de Schröedinger $H\psi = i \frac{\partial}{\partial t} \Psi$
  • Dirac: $E^2 = m^2 +p^2 $   ⇝   $1H_D = \alpha ... \textbf{p} + \beta m $
  • Schwinger, Tomonaga, Feynman y Dyson ⇝ covariante y renormalizable en electrodinámica cuántica.
  • Glaslow, Weinberg y Salam ⇝ unificación de electromagnetismo y fuerza de interacción debil.
  • Gell-man ⇝ decodifica los hadrones en la interacción fuerte.
  • Higgs y Englert (Brout) ⇝ resuelven cómo darle masa a los bosones de Gauge.

Construcción del modelo

Unificación electrodebil.

Interacción de fermiones con fotón:

$$\require{cancel}\mathcal{L}_{QED} = i\overline{\psi} \cancel{D} \psi - m\overline{\psi} \psi - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$$

La derivada covariante:

$$D_\mu = \partial_\mu - ig_2 I_a W^a _ \mu - i\frac{g_1}{2} B_\mu$$

Incluyendo la interacción fuerte:

$$D_\mu = \partial_\mu - ig_2 I_a W^a _ \mu - i\frac{g_1}{2} B_\mu - i\frac{g_3}{2}\lambda_\alpha G^\alpha _\mu$$

Mecanismo de Higgs del modelo estándar

Un doblete de Higgs escalar complejo:

$$\Phi = \begin{pmatrix}\phi^+ \\ \phi^0\end{pmatrix}$$

Lagrangiano de Higgs:

$$\mathcal{L}_H = (D_\mu \Phi)^\dagger (D^\mu \Phi)-V(\Phi)$$

Con la derivada covariante EW:

$$D_\mu = \partial_\mu - ig_2 I_a W^a _ \mu - i\frac{g_1}{2} B_\mu$$

Rompimiento de la simetría electrodébil: Generación de masas

Una vez que se escoge un vev $\langle 0 | \Phi | 0 \rangle = v \neq 0$ la simetría EW se rompe:

  • Los bosones de Gauge adquieren masa por el término cinético
  • Los fermiones adquieren masa através de los acoplamientos con el Higgs, acoplamientos de Yukawa.
  • La masa de Higgs se genera desde el potencial de Higgs, después del rompimiento espontáneo de la simetría EW (SSB).

El mecanismo de Higgs genera las masas tanto de los bosones de norma como de los fermiones.

$$\Phi_1 = \begin{bmatrix}\phi^0 _1 \\ \phi^+ _1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x^0 _1 + i\xi^0 _1\\ \sigma^+ _1 + i\eta^+ _1\end{bmatrix}$$

El modelo estándar de las partículas elementales contempla un solo doblete de Higgs para la generación de las masas.

El potencial de Higgs y el rompimiento espontáneo de la simetría electrondebil

Potencial efectivo, V(φ) en forma de sombrero mexicano lleva a una ruptura espontánea de simetría

Partimos del lagrangiano:

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_\alpha \phi)^2 - \frac{1}{2}\mu^2 \phi^2 - \frac{1}{4}\lambda \phi^4$$

Sacamos el signo menos:

$$\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_\alpha \phi)^2 -( \frac{1}{2}\mu^2 \phi^2 + \frac{1}{4}\lambda \phi^4)$$

La energía cinética esta dada por:

$$\frac{1}{2}(\partial_\alpha \phi)^2$$

Expandimos y nos quedamos con el potencial:

$$V(\phi) =\frac{1}{2}\mu^2 \phi^\dagger \phi + \frac{1}{4}\lambda (\phi^\dagger \phi)^2$$

Para los mínimos, calculamos la primera derivada de la función respecto al campo y la igualamos a cero:

$$\frac{dV(\phi)}{d\phi}=0$$

y queda:

$$\frac{dV(\phi)}{d\phi}=\mu^2 \phi + \lambda \phi^3$$

igualamos a 0 y resolvemos:

$$\mu^2 \phi + \lambda \phi^3=0$$$$\phi (\mu^2 + \lambda \phi^2)=0$$

Obtenemos 3 soluciones:

$$\phi=0, \ \phi=-\sqrt{\frac{-\mu^2}{\lambda}}, \ \phi=+\sqrt{\frac{-\mu^2}{\lambda}}$$

Y nos quedamos con la positiva para el estado base:

$$|\phi_0 |=\sqrt\frac{-\mu^2}{\lambda}\equiv v$$

SOMBRERO MEXICANO

GRAFICA

$$|\phi |=\sqrt{\phi^\dagger \phi}=\sqrt{\phi^{+\dagger}\phi^+ +\phi^{0\dagger} \phi^0}\equiv v$$$$V(\phi_0)=-\frac{\lambda}{4}\nu^4$$

¿Qué no explica el modelo estándar?

Cotas experimentales muy altas con respecto a los cálculos del modelo estándar:

  • $BR^{Exp}(\tau\rightarrow\mu\gamma)<4,4\times10^{-8}$
  • $BR^{Exp}(t\rightarrow ch)<10^-3$     $BR^{SM}(t\rightarrow ch)\simeq 10^-14$
  • Oscilaciones de neutrinos
  • Mezcla asimétrica de mesones: BS, DS
  • Momento magnético anómalo del muón αμ

Proceso de violación de sabor: oscilaciones de neutrinos

PROCESOS DE VIOLACION DE SABOR: OSCILACIONES DE NEUTRINOS

Contribuciones extra al momento magnético anómalo del muón, (g-2)

PREDICCION DEL MUON g-2

Asimetría barionica

ASIMETRIA BARIONICA

Materia oscura

MATERIA OSCURA

Inflación, expansión acelerada del universo

INFLACION EXPANSION ACELERADA DEL UNIVERSO

Sector extendido de Higgs

Dos dobletes SU(2) de Higgs complejos:

$$\Phi_2 = \begin{bmatrix}\phi^0 _2 \\ \phi^+ _2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x^0 _2 + i\xi^0 _2\\ \sigma^+ _2 + i\eta^+ _2\end{bmatrix}$$

El lagrangiano que describe la dinámica de los dos dobletes de Higgs sería entonces:

$$\mathcal{L}_{\Phi_1 , \Phi_2} = (D^\mu \Phi_1)^\dagger (D_\mu \Phi_1)+(D^\mu \Phi_2)^\dagger (D_\mu \Phi_2)-V(\Phi_1 , \Phi_2)$$

El potencial de Higgs y el rompimiento espontáneo de la simetría electrondebil

Se calcula la matriz de masas mediante la expresión:

$$M^2 _{ij}=(\frac{\partial^2 V(\Phi_1 , \Phi_2)}{\partial \phi_i \partial \phi_j})\langle \Phi_i \rangle _0$$

Donde:

$$\phi_1 = X_1 , \phi_2 = X_2 , \phi_3 = \xi_1 , \phi_4 = \xi_2 , \phi_5 = \sigma_1 , \phi_6 = \sigma_2 , \phi_7 = \eta_1 , \phi_8 = \eta_2$$$$V(\Phi_1 , \Phi_2) = \mu^2 _1 \Phi^\dagger _1 \Phi_1 + \mu^2 _2 \Phi^\dagger _2 \Phi_2 - (\mu^2 _{12} \Phi^\dagger _1 \Phi_2+h.c)+\lambda_1 (\Phi^\dagger _1 \Phi_1)^2 \\ +\lambda_2 (\Phi^\dagger _2 \Phi_2)^2 + \lambda_3 (\Phi^\dagger _1 \Phi_1)(\Phi^\dagger _2 \Phi_2) + \lambda_4 (\Phi^\dagger _1 \Phi_2)(\Phi^\dagger _2 \Phi_1) \\ + \frac{1}{2} [\lambda_5 (\Phi^\dagger _1 \Phi_2)^2 +h.c.]$$

Expandiendo en una serie de Taylor del V(φ1φ2) tenemos:

$$V(\Phi_1 , \Phi_2) = (\phi_{01}, \phi_{02})+\sum^8 _{i=1} (\frac{\partial V}{\partial \phi_i})_{\langle \Phi_i \rangle_0} (\phi_i - \phi_{0i}) \\ +\frac{1}{2!} \sum^8 _{i.j=1} (\frac{\partial^2 V}{\partial \phi_i \phi_j})_{\langle \Phi_i \rangle_0} (\phi_i - \phi_{0i})(\phi_j - \phi_{0j})-$$

En condiciones de mínimo de potencial:

$$\xi_1 = \xi_2 = \sigma_1 = \sigma_2 = \eta_1 = \eta_2 = 0$$$$x_1 = v_1 ; x_2 = v_2$$

Matrices de masa escalar de Higgs

$$M^2 _{ij}=\pmatrix{M_{Re} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & M_{Im} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & M_\pm & 0 \\ 0 & 0 & 0 & M_\pm}$$

Donde:

$$M _{Re}=\pmatrix{2v^2 _1 \lambda_1 + \frac{v_2}{v_1}\mu^2 _{12} & v_1 v_2 (\lambda_3 + \lambda_4 + \lambda_5)-\mu^2 _{12} \\ v_1 v_2 (\lambda_3 + \lambda_4 + \lambda_5)-\mu^2 _{12} & 2v^2 _2 \lambda_2 + \frac{v_1}{v_2}\mu^2 _{12}}$$$$M _{Im}=(\lambda_5 - \frac{\mu^2 _{12}}{v_1 v_2})\pmatrix{-v^2 _2 & v_1 v_2 \\ v_1 v_2 & -v^2 _1}$$$$M _\pm=\frac{1}{2}(\lambda_4 + \lambda_5 - 2\frac{\mu^2 _{12}}{v_1 v_2})\pmatrix{-v^2 _2 & v_1 v_2 \\ v_1 v_2 & -v^2 _1}$$

Dos dobletes SU(2) de Higgs complejos:

$$\Phi_1=\pmatrix{v_1 + \frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_1 - i_{\chi_1}) \\ -\phi^- _1}$$$$\Phi_2=\pmatrix{ \phi^+ _2 \\ v_2 + \frac{1}{\sqrt{2}}(\phi_2 - i_{\chi_2})}$$

Espectro de partículas de Higgs, 5 nuevas partículas:

  • φ1, CP=1 → dos campos escalares CP par: h0, H0
  • χ2, CP=-1 → un campo pseudoescalar CP impar: A0
  • φ± dos campos escalares cargados: H±

SSB: los campos escalares desarrollan valores de expectación en el vacío diferentes de cero que rompen la simetría del vacío SU(2)L

$$\langle\Phi_1\rangle=v_1\pmatrix{1 \\ 0}, \langle\Phi_2\rangle=v_2\pmatrix{0 \\ 1}$$

Se define $tan \beta = \frac{v_2}{v_1}$ y $v = (v^2 _1 + v^2 _2)^{1/2} \approx 173GeV$

Origen de la masa

ORIGEN DE LA MASA

Les recuerdo, si ven algún error, me dicen.


Mecanismo de Higgs
Les comparto algunas notas que tomé, sería mejor agregarles muchas referencias, pero después con mas tiempo se las agrego, este artículo es derivado de una breve charla sencilla sobre el bosón de Higgs de un investigador que hace colaboraciones con el CERN, hice algunas correcciones a la presentación original, principalmente en algunos términos de normalización, signos, algunos detalles y agregué unas gráficas mas claras, la lagrangiana de donde sacamos el potencial y el cálculo del estado base
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