Inversión temporal en mecánica cuántica

La operación de inversión temporal intercambia el pasado con el futuro, ella transforma las coordenadas espacio-tiempo via:

T̂(ct,r)=(-ct,r)

Por lo tanto, en la inversión temporal, el tiempo y los componentes espaciales de la posición cuadrivector tienen diferentes propiedades de transformación. Además, la energía-momento cuadrivector se transforma:

T̂(p0,p)=(p0,-p)

Así, la posición cuadrivector y el momento cuadrivector tienen diferentes propiedades de transformación. Debido a las propiedades anteriores, el momento angular, incluyendo el spin, se transforma:

J=-J

Por lo tanto, encontramos que la inversión temporal, invierte los momentos y da vuelta a los spins.

De acuerdo con el teorema de Wigner, la inversión temporal solo puede implementarse por una transformación anti-unitaria anti-lineal. Desde el operador de inversión temporal intercambia los estados inicial y final, entonces:

⟨ T̂ ψf | T̂ ψi ⟩ = ⟨ ψi | ψf
= ⟨ ψf | ψi ⟩*

Por lo tanto, tiene un operador anti-unitario, además si el estado inicial esta dado por una superposición lineal:

$$|\psi_i \rangle = \sum_\alpha C_\alpha | \phi_\alpha \rangle$$

entonces la superposición viene dada por:

$$\sum_\alpha \langle \hat{T} \psi_f | \hat{T} C_\alpha | \phi_\alpha \rangle = \sum_\alpha C_\alpha ^* \langle \psi_f | \phi_\alpha \rangle ^*$$

Se infiere:

$$ \hat{T} \sum_\alpha C_\alpha | \phi_\alpha \rangle = \sum_\alpha C_\alpha ^* \hat{T} | \phi_\alpha \rangle$$

la cual es la definicion de un operador anti-lineal e identificamos como un operador anti-lineal.

La inversión temporal de la función de onda esta definida por:

T̂ ψ(t,r)=-γ1γ3ψ*(-t,r)

Satisface la ecuación de Dirac con t → -t . Por ejemplo, las soluciones de onda plana de la ecuación de Dirac pueden ser mostradas para transformar como:

T̂ φσ,k(r,t)=-γ1γ3 φ*σ,k(r,t)
= φ-σ,-k(r,t)

el cual voltea el momento y el momento angular del spin, el operador de matriz γ1 γ3 no acopla los spinors de dos componentes superiores e inferiores, pero esta estrechamente relacionado con el operador -i γ2 que ocurre en el operador de conjugación de carga.

Además, si se requiere que el operador de campo de Dirac satisfaga:

T̂ ψ̂(t,r)T̂=-γ1γ3ψ̂*(-t,r)

entonces los operadores de una sola partícula deben satisfacer:

cα T̂ = c
bα T̂ = b

el cual corresponde a partículas siguiendo trayectorias de tiempo inversas.

Simetría discreta de partículas

La carga conjugada de un estado es un estado de energía negativa con momento -p y spin -σ, que es interpretado como el estado de antipartícula con momento p y spin σ.

QpσΛ
Conjugación de carga-+++
Paridad+-+-
Inversión temporal+--+
CPT-+--

La interacción débil viola la invariación de paridad, sin embargo, hay una ligera posibilidad de que la interacción débil conserve la operación combinada de conjugación de carga e inversión espacial. Christenson, Cronin, Fitch y Turlay realizaron experimentos que mostraron que la operación combinada C P se viola en el decaimiento de los mesones K. Hay razones para creer que la interacción débil es invariable bajo la operación de simetría combinada C P T, ya que está relacionada con la invarianza de Lorentz.

La operacion de simetría combinada Ĉ P̂ T̂ transforma un spinor de Dirac como:

ψ'(x')=Ĉ P̂ T̂ ψ(x)
=-iγ2 (P̂ T̂ ψ(x))*
=+iγ20γ1γ3 ψ*(-x))*
=iγ2γ0γ1γ3 ψ(-x)
=iγ0γ1γ2γ3 ψ(-x)
4 ψ(-x)

Miguel Angel Vargas Cruz
2017-10-13 22:34:48 Post #2235