Fórmulas generales para solución de ecuaciones

Critico demasiado la enseñanza de la historia, pero no porque no la conozca o no me guste, si no porque casi todo lo que se enseña son mentiras completas o verdades a medias, principalmente justificadas por la ambición humana, pero hay historia que puede ser útil, como la historia de las matemáticas y la ciencia.

La verdadera razón de por qué le puse a mi arbolito Nabucodonosor, no solo fue por los jardines colgantes de babilonia, bueno de hecho lo que voy a publicar no es tan conocido, es triste, pero de cierta manera emocionante, lo hice por una razón matemática.

Uno de los sucesos mas terribles de la historia, la caida de Babilonia

La gente regularmente no entiende bien las implicaciones de los sucesos, pero uno de los mas tristes es la caida de Babilonia y no por lo que un imperio significa, si no porque se perdió el enorme avance que tenían en matemáticas, sabían como resolver desde entonces ecuaciones cuadráticas... como dato cultural, ellos fueron los inventores de una fórmula general equivalente a la famosa "chicharronera", pensé que era un nombre solo de México pero en América Latina vi que también la conocen así, que en realidad no se de donde salió, pero para que se ubiquen mejor sobre qué hablo si no son muy versados en el tema.

Solución de ecuaciones lineales

TABILLA YBC 4652

Se piensa que los Babilonios ya sabían como solucionar ecuaciones lineales desde antes del 2000 a.n.e. por evidencia indirecta, la evidencia directa data de entre 1800 y 1600 a.n.e. por la tablilla YBC 4652 con 11 problemas para resolver, pero originalmente eran 22... eso habla bastante bien de ellos...

Les voy a poner la traducción de uno de sus problemas:

"Encontré una piedra, no la pesé, después pesé 6 veces su peso, agregué 2 gin y agregué también un tercio de un séptimo multiplicado por 24, lo pesé y resultó un ma-na. ¿Cuál era el precio original de la piedra?"

1 ma-na son 60 gin, recuerden que usaban la base 60, pero vamos a ver como queda en notación actual:

$$(6x+2)+\frac{1}{3}\times\frac{1}{7}\times 24(6x+2)=60$$

Ahora les voy a poner lo que representa una ecuación lineal:

ax+b=0

Y su solución:

x=-b/a

Les voy a poner una representación gráfica muy sencillita de una ecuación lineal:

ECUACION LINEAL


Una ecuación lineal muy sencilla

Si no se sienten cómodos con eso, les voy a poner la ecuación que le enseño a niños de kinder:

x+1=2

Su solución:

x=2-1
x=1


¿con esto es mas claro por qué se llama lineal?, pero los babilonios no pararon ahí.

Solución de ecuaciones cuadráticas

TABILLA BM 13901

Eran inquietos esos babilonios, también se encontraron códices de ecuaciones cuadráticas, les pongo la traducción de uno de los problemas:

"He sumado 7 veces el lado de mi cuadrado y 11 veces su área obteniendo 6;15", el 6;15 es la notación simplificada de la notación sexagesimal babilónica, lo que da 6 enteros 15/60 o lo que es equivalente a 6 enteros 1/4.

"Escribe 7 y 11, multiplica 6;15 por 11 obteniendo 1,8;45, divide 7 por la mitad obteniendo 3;30 y 3;30, multiplica obteniendo 12;15 suma esto a 1;8;45 obteniendo el resultado 1,21, esto es el cuadrado de 9, resta 3;30 que multiplicaste de 9 y el resyltado es 5;30, el reciproco de 11 no puede encontrarse, pero, ¿qué debo multiplicar por 11 para obtener 5:30?, la respuesta es 0;30, el lado del cuadrado es 0;30".

Esto es una ecuación de la forma:

ax2+bx=c

El método babilónico tiene la siguientes instrucciones:

Que equivale a la acutal:

$$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Que todo mundo la conoce, pero las ecuaciones cuadráticas tienen aún caras mas amistosas, lo digo para que no se espanten.


Una ecuación cuadrática muy sencilla

x2=1

Entonces la manera de solucionarla es:

x=√1

Y sus soluciones son:

x=1 y x=-1


Se piensa que se solucionó mediante completar un cuadrado, pero no hay evidencia directa de ello, pero por el momento les muestro como se ve la solución:

ECUACION CUADRATICA

Ecuaciones cúbicas

Pasaron demasiados años para que hubieran mas avance, los Griegos descubrieron que podían resolver algunas cúbicas con secciones cónicas y de manera curiosa pero no sorprendente salió de Persia con Omar Khayyham con su clasificación de 14 tipos de cúbicas, comento curioso porque precisamente el imperio Persa fue el que derrocó al Babilonio, el problema es que para esto llegó hasta el año 1075, por otro lado no fue hasta 1543 que finalmente los últimos tipos de cúbicas fueran resueltas por Del Ferro en Italia.

ECUACION CUBICA


Una ecuación cúbica muy sencilla

x3=1

Su solución real es:

x=1

Sus soluciones complejas son:

x = -(-11/3)

x = -12/3


Soluciones generales para ecuaciones cúbicas

La forma general de tercer grado es ax3+bx2+cx+d=0 y tiene tres soluciones:


Primera solución para ecuaciones cúbicas

$$\small{-\frac{b}{3a}-\frac{2^{1/3}(-b^2+3ac))}{3a\left(-2b^3+9abc-27a^2d+\sqrt{4(-b^2+3ac)^3+(-2b^3+9abc-27a^2d)^2}\right)^{\frac{1}{3}}}\\+\frac{\left(-2b^3+9abc-27a^2d+\sqrt{4\left(-b^2+3ac\right)^3+\left(-2b^3+9abc-27a^2d\right)^2}\right)^{\frac{1}{3}}}{32^{\frac{1}{3}}a}}$$

Segunda solución para ecuaciones cúbicas

$$\small{-\frac{b}{3a} + \frac{\left(1+i\sqrt{3}\right)\left(-b^2+3ac\right)}{32^{\frac{2}{3}}a\left(-2b^3+9abc-27a^2d+\ \sqrt{4\left(-b^2+3ac\right)^3+\left(-2b^3+9abc-27a^2d\right)^2}\right)^{\frac{1}{3}}}\\+\frac{\left(1-i\sqrt{3}\right)\left(-2b^3+9abc-27a^2d+\sqrt{4\left(-b^2+3ac\right)^3+\left(-2b^3+9abc-27a^2d\right)^2}\right)^{\frac{1}{3}}}{62^{\frac{1}{3}}a}}$$

Tercera solución para ecuaciones cúbicas

$$\small{-\frac{b}{3a} + \frac{\left(1-i\sqrt{3}\right)\left(-b^2+3ac\right)}{32^{\frac{2}{3}}a\left(-2b^3+9abc-27a^2d+\ \sqrt{4\left(-b^2+3ac\right)^3+\left(-2b^3+9abc-27a^2d\right)^2}\right)^{\frac{1}{3}}}\\+\frac{\left(1+i\sqrt{3}\right)\left(-2b^3+9abc-27a^2d+\sqrt{4\left(-b^2+3ac\right)^3+\left(-2b^3+9abc-27a^2d\right)^2}\right)^{\frac{1}{3}}}{62^{\frac{1}{3}}a}}$$

Hay formas mas sencillas de solucionarlas, pero este post se trata sobre soluciones generales.

Ecuaciones cuárticas

La solución se le atribuye a Lodovico Ferrari en 1540, la cual fue publicada por Cardano en Ars Magna, sin embargo, un historiador soviético, declaró que fue antes, en 1486 cuando Valmes un metemático español, fue quemando por la inquisición, al declarar que solucionó las ecuaciones cuárticas (una razón mas para desaparecer a todas las religiones, adicional al sentido común), por cierto, con el teorema de Abel-Ruffini en 1824, probó que no se podían resolver con estos métodos las ecuaciones arriba de las cuárticas, las notas de Galois de 1832 dieron lugar a este teorema.

ECUACION CUARTICA


Una ecuación cuártica muy sencilla

x4=1

Sus soluciones reales son:

x=1

x=-1

Sus soluciones complejas son:

x =i

x = -i


Soluciones generales para ecuaciones cuárticas

La forma general de cuarto grado es ax4+bx3+cx2+dx+e=0 y tiene cuatro soluciones:


Primera solución para ecuaciones cuárticas

$$\tiny{{\frac{-a}{4} - \frac{1}{2}{\sqrt{\frac{a^2}{4} - \frac{2b}{3} + \frac{2^{\frac{1}{3}}\left( b^2 - 3ac + 12d \right) } {3{\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd + {\sqrt{-4{\left( b^2 - 3ac + 12d \right) }^3 + {\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd \right) }^2}} \right) }^{\frac{1}{3}}} \\+ \left(\frac{{ 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd + {\sqrt{-4 {\left( b^2 - 3ac + 12d \right) }^3 + {\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd \right) }^2}} }} {54}\right)^\frac{1}{3}}}\\- \frac{1}{2}{\sqrt{\frac{a^2}{2} - \frac{4b}{3} - \frac{2^{\frac{1}{3}}\left( b^2 - 3ac + 12d \right) } {3{\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd + {\sqrt{-4{\left( b^2 - 3ac + 12d \right) }^3 + {\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd \right) }^2}} \right) }^{\frac{1}{3}}} \\- \left(\frac{{ 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd + {\sqrt{-4 {\left( b^2 - 3ac + 12d \right) }^3 + {\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd \right) }^2}} }} {54}\right)^\frac{1}{3} \\- \frac{-a^3 + 4ab - 8c} {4{\sqrt{\frac{a^2}{4} - \frac{2b}{3} + \frac{2^{\frac{1}{3}} \left( b^2 - 3ac + 12d \right) }{3 {\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd + {\sqrt{-4 {\left( b^2 - 3ac + 12d \right) }^3 + {\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd \right) }^2}} \right) }^ {\frac{1}{3}}} \\+ \left( \frac{{ 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd + {\sqrt{-4 {\left( b^2 - 3ac + 12d \right) }^3 + {\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd \right) }^2}} } }{54}\right)^\frac{1}{3}}}}}}}}$$

Segunda solución para ecuaciones cuárticas

$$\tiny{{\frac{-a}{4} - \frac{1}{2}{\sqrt{\frac{a^2}{4} - \frac{2b}{3} + \frac{2^{\frac{1}{3}}\left( b^2 - 3ac + 12d \right) } {3{\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd + {\sqrt{-4{\left( b^2 - 3ac + 12d \right) }^3 + {\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd \right) }^2}} \right) }^{\frac{1}{3}}} \\+ \left( \frac{{ 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd + {\sqrt{-4 {\left( b^2 - 3ac + 12d \right) }^3 + {\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd \right) }^2}} }} {54}\right)^\frac{1}{3}}} \\+ \frac{1}{2}{\sqrt{\frac{a^2}{2} - \frac{4b}{3} - \frac{2^{\frac{1}{3}}\left( b^2 - 3ac + 12d \right) } {3{\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd + {\sqrt{-4{\left( b^2 - 3ac + 12d \right) }^3 + {\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd \right) }^2}} \right) }^{\frac{1}{3}}}\\ - \left( \frac{{ 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd + {\sqrt{-4 {\left( b^2 - 3ac + 12d \right) }^3 + {\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd \right) }^2}} }} {54}\right)^\frac{1}{3} \\- \frac{-a^3 + 4ab - 8c} {4{\sqrt{\frac{a^2}{4} - \frac{2b}{3} + \frac{2^{\frac{1}{3}} \left( b^2 - 3ac + 12d \right) }{3 {\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd + {\sqrt{-4 {\left( b^2 - 3ac + 12d \right) }^3 + {\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd \right) }^2}} \right) }^ {\frac{1}{3}}} \\+ \left( \frac{{ 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd + {\sqrt{-4 {\left( b^2 - 3ac + 12d \right) }^3 + {\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd \right) }^2}} } }{54}\right)^\frac{1}{3}}}}}}}}$$

Tercera solución para ecuaciones cuárticas

$$\tiny{{\frac{-a}{4} + \frac{1}{2}{\sqrt{\frac{a^2}{4} - \frac{2b}{3} + \frac{2^{\frac{1}{3}}\left( b^2 - 3ac + 12d \right) } {3{\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd + {\sqrt{-4{\left( b^2 - 3ac + 12d \right) }^3 + {\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd \right) }^2}} \right) }^{\frac{1}{3}}} \\+ \left( \frac{{ 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd + {\sqrt{-4 {\left( b^2 - 3ac + 12d \right) }^3 + {\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd \right) }^2}} }} {54}\right)^\frac{1}{3}}}\\ - \frac{1}{2}{\sqrt{\frac{a^2}{2} - \frac{4b}{3} - \frac{2^{\frac{1}{3}}\left( b^2 - 3ac + 12d \right) } {3{\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd + {\sqrt{-4{\left( b^2 - 3ac + 12d \right) }^3 + {\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd \right) }^2}} \right) }^{\frac{1}{3}}} \\- \left( \frac{{ 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd + {\sqrt{-4 {\left( b^2 - 3ac + 12d \right) }^3 + {\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd \right) }^2}} }} {54}\right)^\frac{1}{3} \\+ \frac{-a^3 + 4ab - 8c} {4{\sqrt{\frac{a^2}{4} - \frac{2b}{3} + \frac{2^{\frac{1}{3}} \left( b^2 - 3ac + 12d \right) }{3 {\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd + {\sqrt{-4 {\left( b^2 - 3ac + 12d \right) }^3 + {\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd \right) }^2}} \right) }^ {\frac{1}{3}}} \\+ \left( \frac{{ 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd + {\sqrt{-4 {\left( b^2 - 3ac + 12d \right) }^3 + {\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd \right) }^2}} } }{54}\right)^\frac{1}{3}}}}}}}}$$

Cuarta solución para ecuaciones cuárticas

$$\tiny{{\frac{-a}{4} + \frac{1}{2}{\sqrt{\frac{a^2}{4} - \frac{2b}{3} + \frac{2^{\frac{1}{3}}\left( b^2 - 3ac + 12d \right) } {3{\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd + {\sqrt{-4{\left( b^2 - 3ac + 12d \right) }^3 + {\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd \right) }^2}} \right) }^{\frac{1}{3}}} \\+ \left( \frac{{ 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd + {\sqrt{-4 {\left( b^2 - 3ac + 12d \right) }^3 + {\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd \right) }^2}} }} {54}\right)^\frac{1}{3}}} \\+ \frac{1}{2}{\sqrt{\frac{a^2}{2} - \frac{4b}{3} - \frac{2^{\frac{1}{3}}\left( b^2 - 3ac + 12d \right) } {3{\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd + {\sqrt{-4{\left( b^2 - 3ac + 12d \right) }^3 + {\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd \right) }^2}} \right) }^{\frac{1}{3}}} \\- \left( \frac{{ 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd + {\sqrt{-4 {\left( b^2 - 3ac + 12d \right) }^3 + {\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd \right) }^2}} }} {54} \right)^\frac{1}{3} \\+ \frac{-a^3 + 4ab - 8c} {4{\sqrt{\frac{a^2}{4} - \frac{2b}{3} + \frac{2^{\frac{1}{3}} \left( b^2 - 3ac + 12d \right) }{3 {\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd + {\sqrt{-4 {\left( b^2 - 3ac + 12d \right) }^3 + {\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd \right) }^2}} \right) }^ {\frac{1}{3}}} \\+ \left( \frac{{ 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd + {\sqrt{-4 {\left( b^2 - 3ac + 12d \right) }^3 + {\left( 2b^3 - 9abc + 27c^2 + 27a^2d - 72bd \right) }^2}} } }{54}\right)^\frac{1}{3}}}}}}}}$$

Soluciones para potencias mayores

La demostración de que no hay soluciones de este tipo para ecuaciones de mayor grado, no limitó la solución de ecuaciones, por el contrario, ayudó a generar otro tipo de herramientas, de las cuales hablaré en otro post, espero disfrutatan éste artículo de divulgación.

Miguel Angel Vargas Cruz
2017-10-20 16:47:13 Post #2240