MIGUEL ANGEL VARGAS CRUZ
Desde la
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Hasta su
Certificación ISO

De la fuerza de Lorentz a E=mc²

Por ahí del 2009 aunque no hice un post con contenido personal y creo que hubiera sido bueno hacerlo, les subí La teoría especial y general de la relatividad de Albert Einstein, la leí por primera vez cuando tenía unos 12 años, de hecho fue lo que me motivó a aprener cálculo de manera autodidacta, reconozco que no disfruté igual el contenido, que la mecánica cuántica, lo que si recuerdo es que posteriormente me clavé con las transformaciones de Lorentz, no fue mucho tiempo, porque atrajo todo mi interés la mecánica cuántica, pero ahora que me topé de nuevo con el contenido, me hizo revivir muchas tardes que pasaba en la biblioteca.

Como me topé con el contenido y posteriormente navegando en internet, encontré un interesante paper, consideré buena idea compartírselos, solo lo voy a traducir y como el título lo dice, es la derivación de la famosa E=mc2, de la fuerza de Lorentz, iba a hacer mas largo el post, pero creo que lo partiré en dos o tres, según crea conveniente, no hay mucha historia personal, porque solo es contarles que me iba a la biblioteca, jamás me pasó nada para recordar en el camino, solo subía a un microbus para ir a la biblioteca y de regreso, ni siquiera conocí a nadie en el camino o la biblioteca, solo interactuaba con el tipo que sacaba las copias y una vez me preguntó si me gastaba mis ahorros en copias... pero el contenido vale la pena, no será una cita textual, pero me apegaré lo mas posible, de cualquier forma, al final les adjuntaré el documento original en inglés, que también tiene una derivación desde la segunda ley de Newton, así que vale la pena leerlo completo.

Nota importante: Me gusta poner esta nota, les recuerdo que no soy físico, si la cago, me dicen.

Para la mecánica no relativista se pueden utilizar las transformaciones de Lorentz, una vez aclarado esto, en mecánica clásica, tenemos que una partícula m0 moviendose con una velocidad v tiene un momento p=m0v y una energía cinética T=(m0v2)/2, pero en mecánica relativista, el momento y la masa relativista de una partícula esta dada por:

(1)
$$p= \frac{m_0 v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} =mv,$$
(2)
$$m= \frac{m_0 v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} =\gamma m_0,$$

mientras que su energía cinética es:

(3)

T=mc2-m0c2,

donde m0 representa el resto de la masa, m0 cuenta para la inercia de la partícula en el momento en que comienza su aceleración desde el estado de reposo. El relativismo también introduce el concepto de energía en reposo E0=m0c2, y la energía relativista:

(4)

E=T+E0=mc2.

Einstein deriva la ecuación (4) a través de un experimento que pensó. Otros papers también derivan la ecuación (4) usando enfoques populares de las leyes de conservación de energía, considerando colisiones y los postulados de la teoría de la relatividad especial. Este método no usa transformaciones de Lorentz para una partícula cargada, en su lugar, involucra insertar la fuerza de Lorentz sin el cuerpo principal de la teoría de la relatividad especial, y aplicando el principio de relatividad (donde las leyes de la física tienen la misma formulación relativa en cualquier sistema inercial), en lugar de el principio especial de la relatividad (donde las leyes de la física son invariables en las transformaciones de Lorentz), su afirmación es que no solo el electromagnetismo relativista, si no, también la mecánica relativista, puede ser facilmente derivadas usando ese enfoque.

Aclaran que la derivación de E=mc2 puede ser estudiado sin usar transformaciones de Lorentz o sus efectos cinemáticos, como ejemplo, la relación E=mc2 no necesita de la teoría especial de la relatividad, contrario a la afirmación de Einstein.

Derivación de E=mc2 de la fuerza de Lorentz

Einstein fue el primero en derivar la equivalencia de masa-energía de los principios de la teoría especial de la relatividad en su artículo titulado: "Does the inertia of a body depend upon it's energy content?". Por instancia, la masa relativista (2), es aplicada en caso de un marco de referencia inercial moviendose con la partícula, así que es una consecuencia de la dilatación del tiempo entre dos marcos, por ejemplo, un marco de referencia en movimiento para una partícula en movimiento con una velocidad uniforme, donde el marco de referencia se supone está en reposo en cada momento durante el movimiento de la partícula.

Por consecuencia las ecuaciones (2) y (4) pueden aparecer misteriosamente y son puestas en duda. Mostraron en el paper una derivación dinámica pura de E=mc2 y el incremento de la masa relacionado, basado solamente en la fuerza de Lorentz y la segunda ley de Newton.

Considerando dos sistemas inerciales S y S' con una velocidad relativa v y ox entre ellos.

Einstein en su teoría especial de la relatividad, asume la equivalencia de todos los marcos inerciales de referencia, pero hace uso de diferentes asunciones, incluyendo loa dilatación del tiempo, contracción de longitud y relatividad de simultaneidad.

Estos efectos son expresados matemáticamente por la transformación de Lorentz. El paper hace la distinción entre transformación de Lorentz y marcos inerciales, a pesar de que dentro del contexto de la relatividad especial son lo mismo. Su definición de marco inercial de referencia, por otro lado, es de hecho el usual (antes de Einstein), esos marcos de referencia en los cuales la primera y segunda ley de Newton del movimiento, son válidas.

Su enfoque en el paper, es considerar una sola partícula que se mueve en una dirección dada, con ejes comunes ox(ox').

Contrario a las afirmacipnes de la teoría de la relatividad especial, las expresiones relativistas pueden ser derivadas empezando por el principio de la relatividad y la fuerza de Lorentz, por ejemplo:

(5)

F=q(E+v☓B)

Ahora asumiendo que una partícula cargada q moviéndose a una velocidad v en un marco de referencia S, sujeto a un campo eléctrico E y una densidad de flujo magnético B, entonces los componentes cartesianos de (5) en un campo S, son:

(6a)

Fx=q(Ex+vyBz-vzBy)

(6b)

Fy=q(Ey+vzBx-vxBz)

(6c)

Fz=q(Ez+vxBy-vyBx)

Aplicando el principio de relatividad a las ecuaciones (6), tenemos:

(7a)

F'x=q(E'x+v'yB'z-v'zB'y)

(7b)

F'y=q(E'y+v'zB'x-v'xB'z)

(7c)

F'z=q(E'z+v'xB'y-v'yB'x)

Podemos obtener la ecuación de transformación relativista para la velocidad:

(8a)
$$v'_x=\frac{v_x -u}{1-\frac{uv_x}{c^2}}$$
(8b)
$$v'_y=\frac{v_y}{\gamma (1-\frac{uv_x}{c^2})}$$
(8c)
$$v'_z=\frac{v_z}{\gamma(1-\frac{u}{c^2}v_x)}$$

donde el factor escalar γ se fijo por la aplicación del principio de la relatividad en las ecuaciones (8):

(9)
$$\gamma^2(1-\frac{u^2}{c^2})=1 \ \ ó \ \ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$$

El modo convencional para derivar las ecuaciones de transformación relativista de los componentes de la velocidad relativista, son obtenidos de la teoría especial de la relatividad, tambien ya han explicado que hay una alternativa donde no usan la transformación de Lorentz en la derivación de las transformaciones del 3-vector de velocidad relativista pertenecientes a una partícula cargada. Con las ecuaciones (8) construyeron las siguientes entidades relativistas:

(10a)
$$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v'^2}{c^2}}}=\frac{(1-\frac{uv_x}{c^2})}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$
(10b)
$$\frac{v'_x}{\sqrt{1-\frac{v'^2}{c^2}}}=\frac{v_x -u}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$
(10c)
$$\frac{v'_y}{\sqrt{1-\frac{v'^2}{c^2}}}=\frac{v_y}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$
(10d)
$$\frac{v'_z}{\sqrt{1-\frac{v'^2}{c^2}}}=\frac{v_z}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

A pesar de las objeciones de L.B. Okun, quien afirma que la definición apropiada del momento relativista es p=γm0v, la definición de tradicional de momento, ejemplo p=mv, combinada con las ecuaciones (8) dan todas las expresiones relativistas y las relaciones de transformación relativista concerniente al momento, energía y masa relativista como acontinuación: Cuando es visto desde S la partícula cargada q que han mencionado, tiene el momento p=mv cuyos componentes son:

(11a)

px=mvx

(11b)

py=mvy

(11c)

pz=mvz

Visto desde S' el momento es p'=mv' teniendo los componentes:

(12a)

p'x=m'v'x

(12b)

p'y=m'v'y

(12c)

p'z=m'v'z

De acuerdo con el principio de relatividad. Combinando (8a), (11a) y (12a), obtenemos:

$$\frac{p'_x}{m'}=\frac{p_x-um}{m(1-\frac{uv_x}{c^2})},$$

el cual quiere decir que

(13a)

p'x=k(px-um),

(13b)
$$m'=mk(1-\frac{uv_x}{c^2})$$

Donde k representa una constante desconocida y estefactor escalar k, puede ser fijado aplicando el principio de relatividad a las ecuaciones (8a), (11a) y (12a) y obtenemos:

$$\frac{p_x}{m}=\frac{p'_x-um'}{m'(1-\frac{uv'_x}{c^2})},$$

entonces:

(14a)

px=k(p'x-um'),

(14b)
$$m=m'k(1-\frac{uv'_x}{c^2})$$

Multiplicando (13b) y (14b) en paralelo, deducen:

$$1=k^2(1-\frac{uv_x}{c^2})(1+\frac{uv'_x}{c^2})$$

Y empleando (8a) en la última ecuación, conduce a:

(14c)
$$k^2(1-\frac{u^2}{c^2})=1 \ \ ó \ \ k=\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$$

La constante k en la ecuación (14c) es igual al factor escalar γ en la ecuación (9).

Por simplicidad, toman el caso especial de que la partícula cargada está en reposo en el marco de referencia S, así:

vx=0, v'x=-u

Estos resultados, cuando son substituidos en (13b) conduce a:

(15a)

m'=γm0

Observadores del marco de referencia S miden la masa en reposo m0 dada por (15a). Ahora pueden asumir que la partícula está en reposo en el marco de referncia S', así:

v'x=0, vx=u

Estos resultados, cuando son sustituidos en (14b), conducen a:

(15b)

m=γm0

Observadores del marco de referencia S' miden la masa en reposo m dada por (15b). Obtienen la transformación de la ecuación por el componente de momento oy(o'y') si combinan (11b) y (12b) con (8b), así deducen:

(13c)

p'y=m'v'y=mvy=py

de forma similar, obtienen:

(13d)

p'z=m'v'z=mvz=pz

Ahora, usando (9) en (13a), (13b) y (15), conduce a las ecuaciones de transformación:

(16a)
$$m'=\gamma m(1-\frac{uv_x}{c^2}),$$
(16b)

p'x=γ(px-um)

(16c)

p'y=py

(16d)

p'z=pz

y la expresion para la masa relativista en los dos marcos de referencia:

(17a)
$$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$
(17b)
$$m'=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v'^2}{c^2}}}$$

Si comenzamos con las identidades relativistas (10) multiplicando los dos lados por m0, el resultado son las ecuaciones (16) y (17).

Para obtener la misma combinación relativista entre el momento y energía de la misma partícula cargada q, empiezan por (14c), y escriben esta ecuación como:

$$\gamma ^2-\frac{u^2}{c^2}\gamma ^2=1$$

multiplicando en los dos lados por m02c4, queda:

(18)

c4γ2m02-c4γ2m02u2=m02c4

reconocen que el término:

p22m02u2=m2v2,     u=v

representa el cuadrado del momento en S, además, el cuadrado del primer término presentado es:

(19)
$$E=m_0 c^2 (1-\frac{v^2}{c^2})^{-1/2}=\gamma m_0 c^2 \\\\ =mc^2$$

La ecuación (19) es la energía relativista E, nos dice que la carga de la masa de la partícula está acompañada por la carga en su energía y viceversa.

Con la nueva notación, (18) queda:

(20)

E2=c2p2+m02c4

La ecuación (20) representa la combinación de el momento y la energía de la misma partícula. Multiplicando ambos lados por(16a) y (16b) con c2, obtenemos la ecuación de transformación para energía y momento:

(21)
$$E'=\gamma (E-up_x), \ \ p'_x=\gamma (p_x -\frac{u}{c^2}E)$$

El modo convencional de derivar las ecuaciones de transformación relativista de energía-momento es considerar una colisión entre dos partículas de dos marcos de referencia inerciales e imponiendo la conservación del momento y energía. De cualquier forma el propósito del paper es mostrar que la dinámica relativista y en especial la ecuación E=mc2, pueden ser abordado sin los enfóques populares.

La energía cinética T debe equiparar la diferencia entre la energía relativista E y la energía en reposo E0, por ejemplo:

(22)
$$T=mc^2-m_0 c^2 \\\\ =m_0 c^2 (\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1)$$

Hasta aquí le voy a dejar, espero lo hayan disfrutado, si quieren ver completo el paper con la derivación desde la segunda ley de Newton, les recomiendo verlo completo, para que también puedan ver todas las referencias.


De la fuerza de Lorentz a E=mc²
Les voy a poner una breve anécdota y la traducción de un interesante paper.
De la fuerza de Lorentz a E=mc²
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