"Cálculo Volumen 2" - Tom Apostol

Cálculo Volumen 2 - Tom Apostol - PDF

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Contenido

  1. Espacios lineales
    • Introducción
    • Definición de espacio lineal
    • Ejemplos de espacios lineales
    • Consecuencias elementales de los axiomas
    • Ejercicios
    • Subespacios de un espacio lineal
    • Conjuntos dependientes e independientes en un espacio lineal
    • Bases y dimensión
    • Componentes
    • Ejercicios
    • Productos interiores, espacios euclídeos. Normas
    • Ortogonalidad en un espacio euclídeo
    • Ejercicios
    • Construcción de conjuntos ortogonales. Método de Gram-Schmidt
    • Complementos ortogonales. Proyecciones
    • Aproximación óptima de elementos de un espacio euclídeo por elementos de un subespacio de dimensión finita
    • Ejercicios
  2. Transformaciones lineales y matrices
    • Transformaciones lineales
    • Núcleo y recorrido
    • Dimensión del núcleo y rango de la transformación
    • Ejercicios
    • Operaciones algebraicas con transformaciones lineales
    • Inversas
    • Transformaciones lineales uno a uno
    • Ejercicios
    • Transformaciones lineales con valores asignados
    • Representación matricial de las transformaciones lineales
    • Construcción de una representación matricial en forma diagonal
    • Ejercicios
    • Espacios lineales de matrices
    • Isomorfismo entre transformaciones lineales y matrices
    • Multiplicación de matrices
    • Ejercicios
    • Sistemas de ecuaciones lineales
    • Técnicas de cálculo
    • Inversas de matrices cuadradas
    • Ejercicios
    • Ejercicios varios sobre matrices
  3. Determinantes
    • Introducción
    • Justificación de la elección de los axiomas para una función determinante
    • Conjunto de axiomas que definen una función determinante
    • Cálculo de determinantes
    • El teorema de unicidad
    • Ejercicios
    • Producto de determinantes
    • Determinante de la matriz inversa de una matriz no singular
    • Determinantes e independencia de vectores
    • Determinante de una matriz diagonal en bloques
    • Ejercicios
    • Fórmulas para desarrollar determinantes. Menores y cofactores
    • Existencia de la función determinante
    • Determinante de una matriz transpuesta
    • La matriz cofactor
    • Regla de Cramer
    • Ejercicios
  4. Autovalores y autovectores
    • Transformaciones lineales representadas mediante matrices diagonales
    • Autovectores y autovalores de una transformación lineal
    • Independencia lineal de autovectores correspondientes a autovalores distintos
    • Ejercicios
    • Caso de dimensión finita. Polinomios característicos
    • Cálculo de autovalores y autovectores en el caso de dimensión finita
    • Traza de una matriz
    • Ejercicios
    • Matrices que representan la misma transformación lineal. Matrices lineales
    • Ejercicios
  5. Autovalores de operadores en espacios euclídeos
    • Autovalores y productos interiores o escalares
    • Transformaciones hermitianas y hemi-hermitianas
    • Autovalores y autovectores de los operadores hermitianos y hemi-hermitianos
    • Ortogonalidad de los autovectores correspondientes a autovalores distintos
    • Ejercicios
    • Existencia de un conjunto ortonormal de autovectores para operadores hermitianos y hemi-hermitianos que actúan en espacios de dimensión finita
    • Representación matricial para operadores hermitianos y hemi-hermitianos
    • Matrices hermitianas y hemi-hermitianas. Matriz adjunta de una matriz
    • Diagonalización de una matriz hermitiana o hemi-hermitiana
    • Matrices unitarias. Matrices ortogonales
    • Ejercicios
    • Formas cuadráticas
    • Reducción de una forma cuadrática real a forma diagonal
    • Aplicaciones a la Geometría Analítica
    • Ejercicios
    • Autovalores de una transformación simétrica obtenidos como valores de su forma cuadrática
    • Propiedades relativas a extremos de los autovalores de una transformación simétrica
    • Caso de dimensión finita
    • Transformaciones unitarias
    • Ejercicios
  6. Ecuaciones diferenciales lineales
    • Introducción histórica
    • Revisión de los resultados relativos a las ecuaciones de primer y segundo orden
    • Ejercicios
    • Ecuaciones diferenciales lineales de orden n
    • Teorema de existencia y unicidad
    • Dimensión del espacio solución de una ecuación lineal homogénea
    • Álgebra de operadores de coeficientes constantes
    • Determinación de una base de soluciones para ecuaciones lineales con coeficientes constantes por factorización de operadores
    • Ejercicios
    • Relación entre las ecuaciones homogéneas y no homogéneas
    • Determinación de una solución particular de la ecuación no homogénea. Método de variación de constantes
    • No singularidad de la matriz wronskiana de n soluciones independientes de una ecuación lineal homogénea
    • Métodos especiales para determinar una solución particular de la ecuación no homogénea. Reducción a un sistema de ecuaciones lineales de primer orden
    • Método del anulador para determinar una solución particular de la ecuación no homogénea
    • Ejercicios
    • Ejercicios varios sobre ecuaciones diferenciales lineales
    • Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes analíticos
    • La ecuación de Legendre
    • Polinomios de Legendre
    • Fórmula de Rodrigues para los polinomios de Legendre
    • Ejercicios
    • Método de Frobenius
    • Ecuación de Bessel
    • Ejercicios
  7. Sistemas de ecuaciones diferenciales
    • Introducción
    • Cálculo con funciones matriciales
    • Series de matrices. Normas de matrices
    • Ejercicios
    • Exponencial de una matriz
    • Ecuación diferencial que se satisface por etA
    • Teorema de unicidad para la ecuación diferencial matricial F'(t)=AF(t)
    • Ley de exponentes para exponenciales de matrices
    • Teoremas de existencia y unicidad para sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes
    • El problema de calcular etA
    • Teorema de Cayley-Hamilton
    • Ejercicios
    • Método de Putzer para calcular etA
    • Otros métodos para calcular etA en casos especiales
    • Ejercicios
    • Sistemas lineales no homogéneos con coeficientes constantes
    • Ejercicios
    • Sistema lineal general Y'(t)=P(t)Y(t)+Q(t)
    • Resolución de sistemas lineales homogéneos mediante series de potencias
    • Ejercicios
    • Demostración del teorema de existencia por el método de las aproximaciones sucesivas
    • Aplicación del método de aproximaciones sucesivas a los sistemas no lineales de primer orden
    • Demostración de un teorema de existencia y unicidad para sistemas no lineales de primer orden
    • Ejercicios
    • Aproximaciones sucesivas y puntos fíjos de operadores
    • Espacios lineales normados
    • Operadores de contracción
    • Teorema del punto fijo para operadores de contracción
    • Aplicaciones del teorema del punto fijo
  8. Cálculo diferencial en campos escalares y vectoriales
    • Funciones de ℝn en ℝm. Campos escalares y vectoriales
    • Bolas abiertas y conjuntos abiertos
    • Ejercicios
    • Límites y continuidad
    • Ejercicios
    • La derivada de un campo escalar respecto a un vector
    • Derivadas direccionales y derivadas parciales
    • Derivadas parciales de orden superior
    • Ejercicios
    • Derivadas direccionales y continuidad
    • La diferencial
    • Gradiente de un campo escalar
    • Condición suficiente de diferenciabilidad
    • Ejercicios
    • Regla de la cadena para derivadas de campos escalares
    • Aplicaciones geométricas. Conjuntos de nivel. Planos tangentes
    • Ejercicios
    • Diferenciales de campos vectoriales
    • La diferenciabilidad implica la continuidad
    • La regla de la cadena para diferenciales de campos vectoriales
    • Forma matricial de la regla de la cadena
    • Ejercicios
    • Condiciones suficientes para la igualdad de las derivadas parciales mixtas
    • Ejercicios varios
  9. Aplicaciones de cálculo diferencial
    • Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
    • Ecuación en derivadas parciales de primer orden con coeficientes constantes
    • Ejercicios
    • La ecuación de ondas uni-dimensional
    • Ejercicios
    • Derivación de funciones definidas implícitamente
    • Ejemplos resueltos
    • Ejercicios
    • Máximos, mínimos y puntos de ensilladura
    • Fórmula de Taylor de segundo orden para campos escalares
    • Determinación de la naturaleza de un punto estacionario por medio de los autovalores de la matriz hessiana
    • Criterio de las derivadas segundas para determinar extremos de funciones de dos variables
    • Ejercicios
    • Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange
    • Ejercicios
    • Teorema del valor extremo para campos escalares continuos
    • Teorema de la continuidad uniforme para campos escalares continuos
  10. Integrales de línea
    • Introducción
    • Caminos e integrales de línea
    • Otras notaciones para las integrales de línea
    • Propiedades fundamentales de las integrales de línea
    • Ejercicios
    • El concepto de trabajo como integral de línea
    • Integrales de línea con respecto a la longitud de arco
    • Otras aplicaciones de las integrales de línea
    • Ejercicios
    • Conjuntos conexos abiertos. Independientes del camino
    • Segundo teorema fundamental del cálculo para integrales de línea
    • Aplicaciones a la Mecánica
    • Ejercicios
    • El primer teorema fundamental del cálculo para integrales de línea
    • Condiciones necesarias y suficientes para que un campo vectorial sea un gradiente
    • Condiciones necesarias para que un campo vectorial sea un gradiente
    • Métodos especiales para construir funciones potenciales
    • Ejercicios
    • Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales exactas de primer orden
    • Ejercicios
    • Funciones de potencial en conjuntos convexos
  11. Integrales múltiples
    • Introducción
    • Particiones de rectángulos. Funciones escalonadas
    • Integral doble de una función escalonada
    • Definición de integral doble de una función definida y acotada en un rectángulo
    • Integrales dobles superior e inferior
    • Cálculo de una integral doble por integración uni-dimensional reiterada
    • Interpretación geométrica de la integral doble como un volumen
    • Ejemplos resueltos
    • Ejercicios
    • Integrabilidad de funciones continuas
    • Integrabilidad de funciones acotadas con discontinuidades
    • Integrales dobles extendidas a regiones más generales
    • Aplicaciones a áreas y volúmenes
    • Ejemplos resueltos
    • Ejercicios
    • Otras aplicaciones de las integrales dobles
    • Dos teoremas de Pappus
    • Ejercicios
    • Teorema de Green en el plano
    • Algunas aplicaciones del teorema de Green
    • Condición necesaria y suficiente para que un campo vectorial bi-dimensional sea un gradiente
    • Ejercicios
    • Teorema de Green para regiones múltiplemente conexas
    • El número de giros
    • Ejercicios
    • Cambio de variables en una integral doble
    • Casos particulares de la fórmula de transformación
    • Ejercicios
    • Demostración de la fórmula de transformación en un caso particular
    • Demostración de la fórmula de transformación en el caso general
    • Extensiones a un número mayor de dimensiones
    • Cambio de variables en una integral n-múltiple
    • Ejemplos resueltos
    • Ejercicios
  12. Integrales de superficie
    • Representación paramétrica de una superficie
    • Producto vectorial fundamental
    • El producto vectorial fundamental, considerado como una normal a la superficie
    • Ejercicios
    • Área de una superficie paramétrica
    • Ejercicios
    • Integrales de superficie
    • Cambio de representación paramétrica
    • Otras notaciones para las integrales de superficie
    • Ejercicios
    • Teorema de Stokes
    • El rotacional y la divergencia de un campo vectorial
    • Ejercicios
    • Otras propiedades del rotacional y de la divergencia
    • Ejercicios
    • Reconstrucción de un campo vectorial a partir de su rotacional
    • Ejercicios
    • Extensiones del teorema de Stokes
    • Teorema de la divergencia (teorema de Gauss)
    • Aplicaciones del teorema de la divergencia
    • Ejercicios
  13. Funciones de conjunto y probabilidad elemental
    • Introducción histórica
    • Funciones de conjunto con aditividad finita
    • Medidas con aditividad finita
    • Ejercicios
    • Definición de probabilidad para espacios muestrales finitos
    • Terminología propia del cálculo de probabilidades
    • Ejercicios
    • Ejemplos resueltos
    • Ejercicios
    • Algunos principios básicos de análisis combinatorio
    • Ejercicios
    • Probabilidades condicionadas
    • Independencia
    • Ejercicios
    • Experimentos o pruebas compuestas
    • Pruebas de Bernoulli
    • Número más probable de éxitos en n pruebas de Bernoulli
    • Ejercicios
    • Conjuntos numerables y no numerables
    • Ejercicios
    • Definición de probabilidad para espacios muestrales infinitos numerables
    • Ejercicios
    • Ejercicios variados sobre probabilidades
  14. Cálculo de probabilidades
    • Definición de probabilidad para espacios muestrales no numerables
    • Numerabilidad del conjunto de puntos con probabilidad positiva
    • Variables aleatorias
    • Ejercicios
    • Funciones de distribución
    • Discontinuidad de las funciones de distribución
    • Distribuciones discretas. Funciones de masa de probabilidad
    • Ejercicios
    • Distribuciones continuas. Funciones de densidad
    • Distribución uniforme sobre un intervalo
    • Distribución de Cauchy
    • Ejercicios
    • Distribuciones exponenciales
    • Distribuciones normales
    • Observaciones sobre distribuciones más generales
    • Ejercicios
    • Distribuciones de funciones de variables aleatorias
    • Ejercicios
    • Distribución de variables aleatorias bidimensionales
    • Distribuciones discretas bidimensionales
    • Distribuciones continuas bidimensionales. Funciones de densidad
    • Ejercicios
    • Distribuciones de funciones de dos variables aleatorias
    • Ejercicios
    • Esperanza y varianza
    • Esperanza de una función de una variable aleatoria
    • Ejercicios
    • Desigualdad de Chebyshev
    • Leyes de los grandes números
    • El teorema central del límite
    • Ejercicios
    • Referencias citadas
  15. Introducción al análisis numérico
    • Introducción histórica
    • Aproximaciones por polinomios
    • Aproximaciones polinómicas y espacios lineales normados
    • Problemas fundamentales en la aproximación por polinomios
    • Ejercicios
    • Polinomios de interpolación
    • Puntos de interpolación igualmente separados
    • Análisis del error de la interpolación por polinomios
    • Ejercicios
    • Fórmula de interpolación de Newton
    • Puntos de interpolación igualmente separados. El operador de las diferencias sucesivas
    • Polinomios factoriales
    • Ejercicios
    • Problema de mínimo relativo a la norma del máximo
    • Polinomios de Chebyshev
    • Propiedad de mínimo de los polinomios de Chebyshev
    • Aplicación a la fórmula del error en la interpolación
    • Ejercicios
    • Integración aproximada. Regla de los trapecios
    • Regla de Simpson
    • Ejercicios
    • Fórmula de sumación de Euler
    • Ejercicios
    • Referencias citadas
    • Soluciones a los ejercicios
    • Índice

Miguel Angel Vargas Cruz
2018-01-21 10:20:56 Post #2319


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