"Cálculo Volumen 1" - Tom Apostol

Cálculo Volumen 1 - Tom Apostol - PDF

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Contenido

  1. Introducción
    • Introducción histórica
      • Los dos conceptos básicos del Cálculo
      • Introducción histórica
      • El método de exhaución para el área de un segmento de parábola
      • Ejercicios
      • Análisis crítico del método de Arquímedes
      • La introducción al Cálculo que se utiliza en este libro
    • Conceptos básicos de la teoría de conjuntos
      • Introducción a la teoría de conjuntos
      • Notaciones para designar conjuntos
      • Subconjuntos
      • Reuniones, intersecciones, complementos
      • Ejercicios
    • Un conjunto de axiomas para el sistema de números reales
      • Introducción
      • Axiomas de cuerpo
      • Ejercicios
      • Axiomas de orden
      • Ejercicios
      • Números enteros y racionales
      • Interpretación geométrica de los números reales como puntos de una recta
      • Cota superior de un conjunto, elemento máximo, extremo superior
      • Axioma del extremo superior (axioma de completitud)
      • La propiedad arquimediana del sistema de los números reales
      • Propiedades fundamentales del extremo superior
      • Ejercicios
      • Existencia de raíces cuadradas de los números reales no negativos
      • Raíces de orden superior. Potencias racionales
      • Representación de los números reales por medio de decimales
    • Inducción matemática, símbolos sumatorios y cuestiones relacionadas
      • Ejemplo de demostración por inducción matemática
      • El principio de la inducción matemática
      • El principio de buena ordenación
      • Ejercicios
      • Demostración del principio de buena ordenación
      • El símbolo sumatorio
      • Ejercicios
      • Valor absoluto y desigualdad triangular
      • Ejercicios
      • Ejercicios varios referentes al método de inducción
  2. Los conceptos del cálculo integral
    • Las ideas básicas de la Geometría cartesiana
    • Funciones. Ideas generales y ejemplos
    • Funciones. Definición formal como conjunto de pares ordenados
    • Más ejemplos de funciones reales
    • Ejercicios
    • El concepto de área como función de conjunto
    • Ejercicios
    • Intervalos y conjuntos de ordenadas
    • Particiones y funciones escalonadas
    • Suma y producto de funciones escalonadas
    • Ejercicios
    • Definición de integral para funciones escalonadas
    • Propiedades de la integral de una función escalonada
    • Otras notaciones para las integrales
    • Ejercicios
    • La integral de funciones más generales
    • Integrales superior e inferior
    • El área de un conjunto de ordenadas expresada como una integral
    • Observaciones relativas a la teoría y técnica de la integración
    • Funciones monótonas y monótonas a trozos. Definiciones y ejemplos
    • Integrabilidad de funciones monótonas acotadas
    • Cálculo de la integral de una función monótona acotada
    • Cálculo de la integral ∫0b xp dx siendo p entero positivo
    • Propiedades fundamentales de la integral
    • Integración de polinomios
    • Ejercicios
    • Demostraciones de las propiedades fundamentales de la integral
  3. Algunas aplicaciones de la integración
    • Introducción
    • El área de una región comprendida entre dos gráficas expresada como una integral
    • Ejemplos resueltos
    • Ejercicios
    • Las funciones trigonométricas
    • Fórmulas de integración para el seno y el coseno
    • Descripción geométrica de las funciones seno y coseno
    • Ejercicios
    • Coordenadas polares
    • La integral para el área en coordenadas polares
    • Ejercicios
    • Aplicación de la integración al cálculo de volúmenes
    • Ejercicios
    • Aplicación de la integración al concepto de trabajo
    • Ejercicios
    • Valor medio de una función
    • Ejercicios
    • La integral como función del límite superior. Integrales indefinidas
    • Ejercicios
  4. Funciones continuas
    • Idea intuitiva de continuidad
    • Definición de límite de una función
    • Definición de continuidad de una función
    • Teoremas fundamentales sobre límites. Otros ejemplos de funciones continuas
    • Demostraciones de los teoremas fundamentales sobre límites
    • Ejercicios
    • Funciones compuestas y continuidad
    • Ejercicios
    • Teorema de Bolzano para las funciones continuas
    • Teorema del valor intermedio para funciones continuas
    • Ejercicios
    • El proceso de inversión
    • Propiedades de las funciones que se conservan por la inversión
    • Inversas de funciones monótonas a trozos
    • Ejercicios
    • Teorema de los valores extremos para funciones continuas
    • Teorema de la continuidad uniforme
    • Teorema de integrabilidad para funciones continuas
    • Teoremas del valor medio para funciones continuas
    • Ejercicios
  5. Cálculo diferencial
    • Introducción histórica
    • Un problema relativo a velocidad
    • Derivada de una función
    • Ejemplos de derivadas
    • Álgebra de las derivadas
    • Ejercicios
    • Interpretación geométrica de la derivada como una pendiente
    • Otras notaciones para las derivadas
    • Ejercicios
    • Regla de la cadena para la derivación de funciones compuestas
    • Aplicaciones de la regla de la cadena. Coeficientes de variación ligados y derivación implícita
    • Ejercicios
    • Aplicaciones de la derivación a la determinación de los extremos de las funciones
    • Teorema del valor medio para derivadas
    • Ejercicios
    • Aplicaciones del teorema del valor medio a propiedades geométricas de las funciones
    • Criterio de la derivada segunda para los extremos
    • Trazado de curvas
    • Ejercicios
    • Ejemplos resueltos de problemas de extremos
    • Ejercicios
    • Derivadas parciales
    • Ejercicios
  6. Relación entre integración y derivación
    • La derivada de una integral indefinida. Primer teorema fundamental del cálculo
    • Teorema de la derivada nula
    • Funciones primitivas y segundo teorema fundamental del cálculo
    • Propiedades de una función deducidas de propiedades de su derivada
    • Ejercicios
    • La notación de Leibniz para las primitivas
    • Integración por sustitución
    • Ejercicios
    • Integración por partes
    • Ejercicios
    • Ejercicios de repaso
  7. Función logaritmo, función exponencial y funciones trigonométricas inversas
    • Introducción
    • Definición del logaritmo natural como integral
    • Definición de logaritmo. Propiedades fundamentales
    • Gráfica del logaritmo natural
    • Consecuencias de la ecuación funcional L(ab) = L(a) + L(b)
    • Logaritmos referidos a una base positiva b≠1
    • Fórmulas de derivación e integración en las que intervienen logaritmos
    • Derivación logarítmica
    • Ejercicios
    • Polinomios de aproximación para el logaritmo
    • Ejercicios
    • La función exponencial
    • Exponenciales expresadas como potencias de e
    • Definición de ex para x real cualquiera
    • Definición de ax para a>0 y x real
    • Fórmulas de derivación e integración en las que exponenciales
    • Ejercicios
    • Funciones hiperbólicas
    • Ejercicios
    • Derivadas de funciones inversas
    • Inversas de las funciones trigonométricas
    • Ejercicios
    • Integración por fracciones simples
    • Integrales que pueden transformarse en integrales de funciones racionales
    • Ejercicios
    • Ejercicios de repaso
  8. Aproximación de funciones por polinómios
    • Introducción
    • Polinomios de Taylor engendrados por una función
    • Cálculo con polinomios de Taylor
    • Ejercicios
    • Fórmula de Taylor con resto
    • Estimación del error en la fórmula de Taylor
    • Otras formas de la fórmula de TayIor con resto
    • Ejercicios
    • Otras observaciones sobre el error en la fórmula de Taylor. notación o-
    • Aplicaciones a las formas indeterminadas
    • Ejercicios
    • Regla de L'Hôpital para la forma indeterminada 0/0
    • Ejercicios
    • Los símbolos +∞ y -∞. Extensión de la regla de L'Hôpital
    • Límites infinitos
    • Comportamiento de log x y ex para valores grandes de x
    • Ejercicios
  9. Introducción a las ecuaciones diferenciales
    • Introducción
    • Terminología y notación
    • Ecuación diferencial de primer orden para la función exponencial
    • Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
    • Ejercicios
    • Algunos problemas físicos que conducen a ecuaciones diferenciales de primer orden
    • Ejercicios
    • Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes
    • Existencia de soluciones de la ecuación y"+by=0
    • Reducción de la ecuación general al caso particular y"+by=0
    • Teorema de unicidad para la ecuación y"+by=0
    • Solución completa de la ecuación y"+by=0
    • Solución completa de la ecuación y"+ay'+by=0
    • Ejercicios
    • Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes
    • Métodos particulares para la determinación de una solución particular de la ecuación no homogénea y"+ay'+by=R
    • Ejercicios
    • Ejemplos de problemas físicos que conducen a ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes
    • Ejercicios
    • Observaciones relativas a las ecuaciones diferenciales no lineales de segundo orden con coeficientes constantes
    • Curvas integrales y campos direccionales
    • Ejercicios
    • Ecuaciones separables de primer orden
    • Ejercicios
    • Ecuaciones homogéneas de primer orden
    • Ejercicios
    • Algunos problemas físicos y geométricos que conducen a ecuaciones de primer orden
    • Ejercicios de repaso
  10. Números complejos
    • Introducción histórica
    • Definiciones y propiedades
    • Los números complejos como una extensión de los números reales
    • La unidad imaginaria i
    • Interpretación geométrica. Módulo y argumento
    • Ejercicios
    • Exponenciales complejas
    • Funciones complejas
    • Ejemplos de fórmulas de derivación e integración
    • Ejercicios
  11. Sucesiones, series, integrales impropias
    • La paradoja de Zenón
    • Sucesiones
    • Sucesiones monótonas de números reales
    • Ejercicios
    • Series infinitas
    • Propiedad de linealidad de las series convergentes
    • Series telescópicas
    • Serie geométrica
    • Ejercicios
    • Ejercicios con expresiones decimales
    • Criterios de convergencia
    • Criterios de comparación para series de términos no negativos
    • El criterio integral
    • Ejercicios
    • Criterios de la raíz y del cociente para series de términos no negativos
    • Ejercicios
    • Series alternadas
    • Convergencia condicional y absoluta
    • Criterios de convergencia de Dirichlet y Abel
    • Ejercicios
    • Reordenación de series
    • Ejercicios varios de repaso
    • Integrales impropias
    • Ejercicios
  12. Sucesiones y series de funciones
    • Convergencia puntual de sucesiones de funciones
    • Convergencia uniforme de sucesiones de funciones
    • Convergencia uniforme y continuidad
    • Convergencia uniforme e integración
    • Una condición suficiente para la convergencia uniforme
    • Series de potencias. Círculo de convergencia
    • Ejercicios
    • Propiedades de las funciones representadas por series reales de potencias
    • Serie de Taylor generada por una función
    • Condición suficiente para la convergencia de una serie de Taylor
    • Desarrollos en serie de potencias de las funciones exponencial y trigonométricas
    • Teorema de Bernstein
    • Ejercicios
    • Series de potencias y ecuaciones diferenciales
    • La serie binómica
    • Ejercicios
  13. Álgebra vectorial
    • Introducción histórica
    • El espacio vectorial de las n-plas de números reales
    • Interpretación geométrica para n≤3
    • Ejercicios
    • Producto escalar
    • Longitud o norma de un vector
    • Ortogonalidad de vectores
    • Ejercicios
    • Proyecciones. Ángulo de dos vectores en el espacio n dimensiones
    • Los vectores coordenados unitarios
    • Ejercicios
    • Envolvente lineal de un conjunto finito de vecotres
    • Independencia lineal
    • Bases
    • Ejercicios
    • El espacio vectorial Vn(C) de n-plas de números complejos
    • Ejercicios
  14. Aplicaciones del álgebra vectorial a la geometría analítica
    • Introducción
    • Rectas en el espacio n-dimensional
    • Algunas propiedades sencillas de las rectas
    • Rectas y funciones vectoriales
    • Ejercicios
    • Planos en el espacio euclídeo n-dimensional
    • Planos y funciones vectoriales
    • Ejercicios
    • Producto vectorial
    • El producto vectorial expresado en forma de determinante
    • Ejercicios
    • Producto mixto
    • Regla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales
    • Ejercicios
    • Vectores normales a planos
    • Ecuaciones lineales cartesianas para planos
    • Ejercicios
    • Las secciones cónicas
    • Excentricidad de las secciones cónicas
    • Ecuaciones polares de las cónicas
    • Ejercicios
    • Cónicas simétricas respecto al origen
    • Ecuaciones cartesianas de las cónicas
    • Ejercicios
    • Ejercicios varios sobre cónicas
  15. Cálculo de funciones vectoriales
    • Funciones vectoriales de una variable real
    • Operaciones algebraicas. Componentes
    • Límites, derivadas e integrales
    • Ejercicios
    • Aplicaciones a las curvas. Tangencia
    • Aplicaciones al movimiento curvilíneo. Vector velocidad, velocidad y aceleración
    • Ejercicios
    • Vector tangente unitario, normal principal y plano osculador a una curva
    • Ejercicios
    • Definición de longitud de un arco
    • Aditividad de la longitud de arco
    • Función longitud de arco
    • Ejercicios
    • Curvatura de una curva
    • Ejercicios
    • Los vectores velocidad y aceleración en coordenadas polares
    • Movimiento plano con aceleración radial
    • Coordenadas cilíndricas
    • Eiercicios
    • Aplicaciones al movimiento planetario
    • Ejercicios de repaso
  16. Espacios lineales
    • Introducción
    • Definición de espacio lineal
    • Ejemplos de espacios lineales
    • Consecuencias elementales de los axiomas
    • Ejercicios
    • Subespacios de un espacio lineal
    • Conjuntos dependientes e independientes, en un espacio lineal
    • Bases y dimensión
    • Ejercicios
    • Productos interiores, espacios euclídeos. Normas
    • Ortogonalidad en un espacio euclídeo
    • Ejercicios
    • Construcción de conjuntos ortogonales. Método de Gram-Schmidt
    • Complementos ortogonales. Proyecciones
    • Aproximación óptima de elementos de un espacio euclídeo por elementos de un subespacio de dimensión finita
    • Ejercicios
  17. Transformaciones lineales y matrices
    • Transformaciones lineales
    • Núcleo y recorrido
    • Dimensión del núcleo y rango de la transformación
    • Ejercicios
    • Operaciones algebraicas con transformaciones lineales
    • Inversas
    • Transformaciones lineales uno a uno
    • Ejercicios
    • Transformaciones lineales con valores asignados
    • Representación matricial de las transformaciones lineales
    • Construcción de una representación matricial en forma diagonal
    • Ejercicios
    • Espacios lineales de matrices
    • Isomorfismo entre transformaciones lineales y matrices
    • Multiplicación de matrices
    • Ejercicios
    • Sistemas de ecuaciones lineales
    • Técnicas de cálculo
    • Inversas de matrices cuadradas
    • Ejercicios
    • Ejercicios varios sobre matrices
    • Soluciones a los ejercicios
    • Índice alfabético

Miguel Angel Vargas Cruz
2018-01-21 10:20:39 Post #2318


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