"Análsis matemático" - Tom Apostol

Análisis matmático - Tom M. Apostol - PDF

Va el contenido:

Contenido

  1. El sistema de los números reales y el de los complejos
    • Introducción
    • Axiomas de cuerpo
    • Axiomas de orden
    • Representación geométrica de los números reales
    • Intervalos
    • Enteros
    • Teorema de descomposición única para enteros
    • Números racionales
    • Números irracionales
    • Cotas superiores; elemento máximo, cota superior mínima (supremo)
    • Axioma de completitud
    • Algunas propiedades del supremo
    • Propiedades de los enteros deducidas del axioma de completitud
    • Propiedad arquimediana del sistema de los números reales
    • Números racionales con representación decimal finita
    • Aproximaciones decimales finitas de los números reales
    • Valor absoluto y desigualdad triangular
    • Desigualdad de Cauchy-Schwarz
    • Más y menos infinito y la extensión ℝ* del sistema de los números reales
    • Números complejos
    • Representación geométrica de los números complejos
    • Unidad imaginaria
    • Valor absoluto de un número complejo
    • Imposibilidad de ordenar los números complejos
    • Expomemciales complejas
    • Otras propiedades de las exponenciales complejas
    • Argumento de un número complejo
    • Potencias enteras y raíces de números complejos
    • Logaritmos complejos
    • Potencias complejas
    • Senos y cosenos complejos
    • Infinito y el plano complejo ampliado ℂ*
    • Ejercicios
  2. Algunas nociones básicas de la teoría de conjuntos
    • Introducción
    • Notaciones
    • Pares ordenados
    • Producto cartesiano de dos conjuntos
    • Relaciones y funciones
    • Más terminología referente a funciones
    • Funciones uno a uno e inversas
    • Funciones compuestas
    • Sucesiones
    • Conjuntos coordinables (equipotentes)
    • Conjuntos finitos e infinitos
    • Conjuntos numerables y no numerables
    • El conjunto de los números reables no es numerable
    • Álgebra de conjuntos
    • Colecciones numerables de conjuntos numerables
    • Ejercicios
  3. Elementos de topología en conjuntos de puntos
    • Introducción
    • El espacio euclídeo ℝn
    • Bolas abiertas y conjuntos abiertos de ℝn
    • La estructura de los conjuntos abiertos de ℝ1
    • Conjuntos cerrados
    • Puntos adherentes. Puntos de acumulación
    • Conjuntos cerrados y puntos adherentes
    • Teorema de Bolzano-Weierstrass
    • Teorema de encaje de Cantor
    • Teorema del recubrimiento de Lindelöf
    • Teorema del recubrimiento de Heine-Borel
    • Compacidad en ℝn
    • Espacios métricos
    • Topología en espacios métricos
    • Subconjuntos compactos de un espacio métrico
    • Frontera de un conjunto
    • Ejercicios
  4. Límites y continuidad
    • Introducción
    • Sucesiones convergentes en un espacio métrico
    • Sucesiones de Cauchy
    • Espacios métricos completos
    • Límite de una función
    • Límites de funciones con valores complejos
    • Límites de funciones con valores vectoriales
    • Funciones continuas
    • La continuidad de las funciones compuestas
    • Funciones complejas y funciones vectoriales continuas
    • Ejemplos de funciones continuas
    • Continuidad y antiimágenes de conjuntos abiertos y cerrados
    • Funciones continuas sobre conjuntos compactos
    • Aplicaciones topológicas (homeomorfísmos)
    • Teorema de Bolzano
    • Conexión
    • Componentes de un espacio métrico
    • Conexión por arcos
    • Continuidad uniforme
    • Continuidad uniforme y conjuntos compactos
    • Teorema de punto fijo para contracciones
    • Discontinuidades de las funciones reales
    • Funciones monótonas
    • Ejercicios
  5. Derivadas
    • Introducción
    • Definición de derivada
    • Derivadas y continuidad
    • Álgebra de derivadas
    • Regla de la cadena
    • Derivadas laterales y derivadas infinitas
    • Funciones con derivada no nula
    • Derivadas cero y extremos locales
    • Teorema de Rolle
    • Teorema del valor medio para las derivadas
    • Fórmulas de Taylor con resto
    • Derivadas de funciones vectoriales
    • Derivadas parciales
    • Diferenciación de funciones de una variable compleja
    • Ecuaciones de Cauchy-Riemann
    • Ejercicios
  6. Funciones de variación acotada y curvas rectificables
    • Introducción
    • Propiedades de las funciones monótonas
    • Funciones de variación acotada
    • Variación total
    • Propiedad aditiva de la variación total
    • La variación total [a,x], como función de x
    • Funciones continuas de variación acotada
    • Curvas y caminos
    • Caminos rectificables de longitud de un arco
    • Propiedades de aditividad y de continuidad de la longitud de arco
    • Caminos equivalentes. Cambios de parámetros
    • Ejercicios
  7. La integral de Riemann-Stieltjes
    • Introducción
    • Notación
    • La definición de la integral de Riemann-Stieltjes
    • Propiedades lineales
    • Integración por partes
    • Cambio de variable de una integral de Riemann-Stieltjes
    • Reducción de una integral de Riemann
    • Funciones escalonadas como integradores
    • Reducción de una integral de Riemann-Stieltjes a una suma finita
    • Fórmula de sumación de Euler
    • Integradores monótonos crecientes. Integrales superior e inferior
    • Propiedad aditiva y lineal de las integrales superior e inferior
    • Condición de Riemann
    • Teoremas de comparación
    • Integradores de variación acotada
    • Condiciones suficientes para la existencia de las integrales de Riemann-Stieltjes
    • Teoremas del valor medio para las integrales de Riemann-Stieltjes
    • La integral como función de intervalo
    • El segundo teorema del valor medio para integrales de Riemann
    • Integrales de Riemann-Stieltjes dependientes de un parámetro
    • Derivación bajo el signo integral
    • Intercambio en el orden de integración
    • Criterio de Lebesgue para la existencia de las integrales de Riemann
    • Integrales complejas de Riemann-Stieltjes
    • Ejercicios
  8. Series infinitas y productos infinitos
    • Introducción
    • Sucesiones convergentes y divergentes de números complejos
    • Límite superior y límite inferior de una sucesión real
    • Sucesiones monótonas de números reales
    • Series infinitas
    • Introducción y supresión de paréntesis
    • Series alternadas
    • Convergencia absoluta y condicional
    • Parte real y parte imaginaria de una serie compleja
    • Criterios de convergencia para las series de términos positivos
    • La serie geométrica
    • El criterio de la integral
    • Las notaciones O grande y o pequeña
    • El criterio del cociente y el criterio de la raíz
    • Criterios de Dirichlet y de Abel
    • Sumas parciales de la serie geométrica ∑zn sobre el círculo unidad |z|=1
    • Reordenación de series
    • Teorema de Riemann para series condicionalmente convergentes
    • Series parciales
    • Sucesiones dobles
    • Teorema de reordenación para series dobles
    • Una condición suficiente para la igualdad de series reiteradas
    • Multiplicación de series
    • Sumabilidad de Césaro
    • Productos infinitos
    • Producto de Euler para la función zeta de Riemann
    • Ejercicios
  9. Sucesiones de funciones
    • Convergencia puntual de sucesiones de funciones
    • Ejemplos de sucesiones de funciones reales
    • Definición de convergencia uniforme
    • Convergencia uniforme y continuidad
    • La condición de Cauchy para la convergencia uniforme
    • Convergencia uniforme de series infinitas de funciones
    • Una curva que llena todo el espacio
    • Convergencia uniforme e integración de Riemann-Stieltjes
    • Sucesiones convergentes con convergencia no uniforme de series
    • Convergencia uniforme y sucesiones dobles
    • Condiciones suficientes para la convergencia uniforme de series
    • Convergencia uniforme y sucesiones dobles
    • Convergencia en media
    • Serie de potencias
    • Multiplicación de series de potencias
    • El teorema de sustitución
    • Recíproca de una serie de potencias
    • Series reales de potencias
    • Serie de Taylor generada por una función
    • Teorema de Bernstein
    • La serie binómica
    • Teorema del límite de Abel
    • Teorema de Tauber
    • Ejercicios
  10. La integral de Lebesgue
    • Introducción
    • Integral de una función escalonada
    • Sucesiones monótonas de funciones escalonadas
    • Funciones superiores y sus integrales
    • Las funciones integrales de Riemann como ejemplo de las funciones superiores
    • La clase de las funciones integrales de Lebesgue en un intervalo general
    • Propiedades básicas de la integral de Lebesgue
    • Integración de Lebesgue y conjuntos de medida cero
    • Teoremas de convergencia monótona de Levi
    • Teorema de convergencia dominada de Lebesgue
    • Aplicaciones del teorema de convergencia dominada de Lebesgue
    • Integrales de Lebesgue sobre intervalos no acotados como límite de integrales sobre intervalos acotados
    • Integrales de Riemann impropias
    • Funciones medibles
    • Continuidad de funciones definidas por medio de integrales de Lebesgue
    • Diferenciación bajo signo integral
    • Intercambio en el orden de integración
    • Conjuntos medibles de la recta real
    • La integral de Lebesgue en subconjuntos arbitrarios de ℝ
    • Integrales de Lebesgue de funciones complejas
    • Productos interiores y normas
    • El conjunto L2(I) de las funciones de cuadrado integrable
    • El conjunto L2(I) como espacio semimétrico
    • Un teorema de convergencia para series de funciones de L2(I)
    • Teorema de Riesz-Fischer
    • Ejercicios
  11. Series de Fourier e integrales de Fourier
    • Introducción
    • Sistemas ortogonales de funciones
    • El teorema de óptima aproximación
    • Serie de Fourier de una función relativa a un sistema ortonormal
    • Propiedades de los coeficientes de Fourier
    • Teorema de Riesz-Fischer
    • Los problemas de convergencia y representación para series trigonométricas
    • Lema de Riemann-Lebesgue
    • Integrales de Dirichlet
    • Una representación integral para las sumas parciales de una serie de Fourier
    • Teorema de localización de Riemann
    • Condiciones suficientes para la convergencia de una serie de Fourier en un punto particular
    • Sumabilidad de Cesáro para series de Fourier
    • Consecuencias del teorema de Fejer
    • Teorema de aproximación de Weierstrass
    • Otras formas de series de Fourier
    • Teorema de la integral de Fourier
    • Forma exponencial del teorema de la integral de Fourier
    • Transformadas integrales
    • Convoluciones
    • Teorema de convolución para transformadas de Fourier
    • Fórmula de sumación de Poisson
    • Ejercicios
  12. Cálculo diferencial de varias variables
    • Introducción
    • La derivada direccional
    • Derivadas direccionales y continuidad
    • La derivada total
    • La derivada total expresada por medio de las derivadas parciales
    • Aplicación a las funciones complejas
    • La matriz de una función lineal
    • La matriz jacobiana
    • Regla de la cadena
    • Forma matricial de la regla de la cadena
    • Teorema del valor medio para funciones diferenciables
    • Una condición suficiente de diferenciabilidad
    • Una condición suficiente para la igualdad de las derivadas parciales cruzadas
    • Fórmula de Taylor para funciones de ℝn en ℝ1
    • Ejercicios
  13. Funciones implícitas y problemas de extremos
    • Introducción
    • Funciones con determinante jacobiano no nulo
    • El teorema de la función inversa
    • El teorema de la función implícita
    • Extremos de funciones reales de una variable
    • Extremos de funciones reales de varias variables
    • Problemas de extremos condicionados
    • Ejercicios
  14. Integrales múltiples de Riemann
    • Introducción
    • Medida de un intervalo acotado de ℝn
    • Integral de Riemann de una función acotada definida en un intervalo compacto de ℝn
    • Conjuntos de medida cero y criterio de Lebesgue para la existencia de una integral múltiple de Riemann
    • Cálculo de una integral múltiple por integración reiterada
    • Conjuntos medibles Jordan en ℝn
    • Integración múltiple sobre conjuntos medibles de Jordan
    • El contenido de Jordan expresado como integral de Riemann
    • Propiedad aditiva de la integral de Riemann
    • Teorema del valor medio para integrales múltiples
    • Ejercicios
  15. Integrales de Lebesgue múltiples
    • Introducción
    • Funciones escalonadas y sus integrales
    • Funciones superiores y funciones integrales de Lebesgue
    • Funciones medibles y conjuntos medibles de ℝn
    • Teorema de Fubini para la reducción de la integral doble de una función escalonada
    • Algunas propiedades de los conjuntos de medida cero
    • Teorema de Fubini para la reducción de integrales dobles
    • Criterio de Tonelli-Hobson de integrabilidad
    • Cambios de coordenadas
    • Fórmula de cambio de variables en integrales múltiples
    • Demostración de la fórmula de cambio de variables para transformaciones lineales de coordenadas
    • Demostración de la fórmula de cambio de variables para la función característica de un cubo compacto
    • Complemento de la demostración de la fórmula de camgio de variables
    • Ejercicios
  16. Teorema de Cauchy y cálculo de residuos
    • Funciones analíticas
    • Caminos y curvas en el plano complejo
    • Integrales de contorno
    • La integral a lo largo de caminos circulares expresada en función del radio
    • El teorema de la integral de Cauchy para un círculo
    • Curvas homotópicas
    • Invariancia de las integrales de contorno en las homotopías
    • Forma general del teorema de la integral de Cauchy
    • Fórmula de la integral de Cauchy
    • Número de giros de un circuito con respecto a un punto
    • La no acotación del conjunto de puntos con número de giros igual a cero
    • Funciones analíticas definidas por integrales de contorno
    • Desarrollo en serie de potencias de las funciones analíticas
    • Desigualdades de Cauchy. Teorema de Liouville
    • Separación de los ceros de una función analítica
    • El teorema de identidad para funciones analíticas
    • Módulos máximo y mínimo de una función analítica
    • El teorema de la aplicación abierta
    • Desarrollos de Laurent para funciones analíticas en un anillo
    • Singularidades aisladas
    • Residuo de una función en un punto singular aislado
    • Teorema de Cauchy del residuo
    • Números de ceros y de polos en una región
    • Cálculo de integrales reales por medio de residuos
    • Cálculo de la suma de Gauss por el método de los residuos
    • Aplicación del teorema del residuo a la fórmula de inversión para transformadas de Laplace
    • Aplicaciones conformes
    • Ejercicios
    • Índice de símbolos especiales
    • Índice alfabético

Miguel Angel Vargas Cruz
2018-01-21 22:53:34 Post #2321


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